数学の広場

理系大学生のために大学数学を自分なりにわかりやすくまとめさせていただきます

ベクトルの外積

外積の定義は

\vec{a}\vec{b}の存在する平面に対して垂直である

外積の大きさは\vec{a}\vec{b}が作る平行四辺形の面積である

という性質を持ったベクトルである。

図で表すと以下のようになる。

f:id:f-yuto-math:20180803120146p:plain

\vec{a}\vec{b}をそれぞれ

 \begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\a_3\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

とすると、\vec{a}\vec{b}外積は、

\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\a_3\\ \end{array} \right]\times\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} a_2 b_3-a_3 b_2\\a_3 b_1-a_1 b_3\\a_1 b_2-a_2 b_1\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

と表すことができる。

また、\vec{a}\times\vec{b}の大きさは、(\theta\vec{a}\vec{b}成す角度とする)

|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

と表される。

 

ベクトル積の計算法則

\vec{a}\vec{b}\vec{c}をn次元のベクトル lを実数とする。

(1) \vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})
(2) l(\vec{a}\times\vec{b})=l\vec{a}\times\vec{b}=\vec{a}\times l\vec{b}
(3) \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}
(4) (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}

 

計算問題

\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} 3\\2\\4\\ \end{array} \right],\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 1\\-1\\2\\ \end{array} \right],\vec{c}=\left[ \begin{array}{ccc} -2\\3\\5\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

1) \vec{a}\times\vec{b}を求めよ。
2) \vec{a}\vec{b}に直交するベクトルを求めよ。
3) \vec{a}\vec{b}\vec{c}を一辺とする平行六面体の体積を求めよ。

 

解答

1) 

\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 2\times2-4\times(-1)\\4\times1-3\times2\\3\times(-1)-2\times1\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc}8\\-2\\-5\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

 2) \vec{a}\times\vec{c}\vec{a}\vec{c}にそれぞれ直交しているので、

\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{c}=\left[ \begin{array}{ccc} 2\times5-4\times3\\4\times(-2)-3\times5\\3\times3-2\times(-2)\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} -2\\-23\\13\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

 3) 体積V=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|で求められるので、

     (1)を使って、

\begin{eqnarray}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|=|\left[ \begin{array}{ccc}8\\-2\\-5\\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc}-2\\3\\5\\ \end{array} \right]|=|8\times(-2)+(-2)\times3+(-5)\times5|=|-47|=47\end{eqnarray}