ベクトルの外積
外積の定義は
・との存在する平面に対して垂直である
・外積の大きさはとが作る平行四辺形の面積である
という性質を持ったベクトルである。
図で表すと以下のようになる。
,をそれぞれ
\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\a_3\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
とすると、との外積は、
\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\a_3\\ \end{array} \right]\times\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} a_2 b_3-a_3 b_2\\a_3 b_1-a_1 b_3\\a_1 b_2-a_2 b_1\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
と表すことができる。
また、の大きさは、(はとの成す角度とする)
と表される。
ベクトル積の計算法則
,,をn次元のベクトル を実数とする。
(1)
(2)
(3)
(4)
計算問題
\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} 3\\2\\4\\ \end{array} \right],\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 1\\-1\\2\\ \end{array} \right],\vec{c}=\left[ \begin{array}{ccc} -2\\3\\5\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
1) を求めよ。
2) とに直交するベクトルを求めよ。
3) ,,を一辺とする平行六面体の体積を求めよ。
解答
1)
\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 2\times2-4\times(-1)\\4\times1-3\times2\\3\times(-1)-2\times1\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc}8\\-2\\-5\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
2) はとにそれぞれ直交しているので、
\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{c}=\left[ \begin{array}{ccc} 2\times5-4\times3\\4\times(-2)-3\times5\\3\times3-2\times(-2)\\ \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} -2\\-23\\13\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}
3) 体積で求められるので、
(1)を使って、
\begin{eqnarray}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|=|\left[ \begin{array}{ccc}8\\-2\\-5\\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc}-2\\3\\5\\ \end{array} \right]|=|8\times(-2)+(-2)\times3+(-5)\times5|=|-47|=47\end{eqnarray}