線形代数とは - 数学の広場

線形代数とは？

「代数」とは、字の通り「数の代わり」という意味である。

例えば、 $2x+3y=20$ という式があるとする。

すると、数字を $x$ と $y$ という文字を使って表している。

このように数字を文字で代用した際の文字 $x$ 、 $y$ を代数という。

「線形」とは、一次式で表せるような関係ことをいう。

線形は次の性質を持つ。

写像 $x,y \in V$ 　

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

$f(ax)=af(x)$ 　　　　( $a=$ 任意定数)

次の3次元の線形な方程式の解を行列を用いて求めてみる。

$\left \{ \begin{array} 2x+y+z=7 \\ 3x+2y+2z=13 \\ x+2y+z=6 \end{array} \right.$

これを行列で表すと、

\begin{eqnarray}\left( \begin{array}{ccc} 2&1&1\\3&2&2\\1&2&1\\ \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} x\\y\\z \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 7\\3\\6\\ \end{array} \right)\end{eqnarray}

と表される。

この行列の解の求め方は他で説明するが解を求めると、

$\left \{ \begin{array} xx=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{array} \right.$

となる。

今回は、3次元の線形な方程式の解を求めたが、行列を用いれば高次元の方程式の解を求めることができる。

よって、線形代数では、高次元の線形な空間とその空間の間の演算を保つような線形写像を扱う。