ベクトルの内積 - 数学の広場

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を $\vec{a}\cdot\vec{b}$ と表す事が出来る。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

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内積は、 $\vec{a}$ 方向の $\vec{a}$ と $\vec{b}$ をかけた量又は、 $\vec{b}$ 方向の $\vec{b}$ と $\vec{a}$ をかけた量となる。

\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

とすると、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積は

\begin{eqnarray}\vec{a}\cdot\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\a_2\\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc} b_1\\b_2\\ \end{array} \right]=a_1 b_1+a_2 b_2\end{eqnarray}

と表すこともできる。

また、 $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ はそれぞれ

$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

$|\vec{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$

と表すことが出来る。

内積の計算法則

$a$ ， $b$ ， $c$ をn次ベクトル　 $l$ を実数とする。

(1) $(ka)\cdot b=k(a\cdot b)=a\cdot (kb)$

(2) $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

(3) $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

計算問題

1) $|\vec{a}|=3$ ， $|\vec{b}|=3$ ， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成す角度 $\theta=\frac{\pi}{3}$ とする。その時の内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？

2) $\vec{a}\cdot\vec{b}=3$ ， $|\vec{a}|=3$ ， $|\vec{b}|=2$ とする。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成す角度 $\theta$ は？

3) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？

\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} 3\\1\\ \end{array} \right]\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 2\\4\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

4) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？また $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成す角度は？

\begin{eqnarray}\vec{a}=\left[ \begin{array}{ccc} 1\\1\\ \end{array} \right]\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} -1\\-1\\ \end{array} \right]\end{eqnarray}

解答

1) $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=3\times3\cos \frac{\pi}{3}=\frac{9}{2}$

2) $\vec{a}\cdot\vec{b}=3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=3\times2\cos\theta$

$3=6\cos\theta$

$\frac{1}{2}=\cos\theta$

$\theta=\frac{\pi}{3}$

\begin{eqnarray}\vec{a}\cdot\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 3\\1\\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc} 2\\4\\ \end{array} \right]=3\times2+1\times4=6+4=10\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\vec{a}\cdot\vec{b}=\left[ \begin{array}{ccc} 1\\1\\ \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc} -1\\-1\\ \end{array} \right]=1\times(-1)+1\times(-1)=-1-1=-2\end{eqnarray}

$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$